法国数学家笛卡尔指出：“没有正确的方法，即使有眼睛的博学者也会像瞎子一样盲目摸索。”数学思想和数学方法是从数学知识提炼出来的数学学科精髓，是将数学知识转化为数学能力的桥梁。只有掌握了数学方法，才能在看似错综复杂的数学问题前从容不迫，得心应手。初中数学的基础知识主要是代数、几何中的概念、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映出来的数学思想和方法。据此，在初中数学中应该加强对数学思想和方法的教学与研究，代数方面对数学思想和方法应用较多且灵活，而几何方面相对欠缺。学生通过课堂学习，已经有了比较明了的几何概念、几何性质，然而对这些概念性质在具体的题目中如何运用却一知半解，如何找出头绪，抽丝剥茧，从而顺利解出答案，相信这会让许多学生扑朔迷离，应对起来不知所措。故此，笔者对几何教学中的数学思想方法的渗透作以下研究，以便学生在几何学习中更轻松、更清晰。初中数学教学过程中，常见的数学方法有：方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想。

一、方程思想

方程思想主要是从分析题目中的数量关系入手，将题目中的已知量和未知量之间的数量关系通过设元来建立方程（或方程组），然后通过解方程（或方程组）来达到解决问题的一种思维方式。方程思想解决问题的关键是建立方程模型。在初中几何所涉及的一些线段与角及面积的求解中，基本都具备方程中的等量关系特征，我们若能根据题意或利用所学定理、性质及图形中的公共边、公共角、等高、同底等关系找出题目中蕴含的等量关系，建立相应方程（或方程组），把几何问题转化为代数问题，则会使解题思路更加清晰明了，解决过程更加简便，达到把复杂几何问题简单化的目的。

例1：如图，△ABC中，BE与CF交于点O，其中S△BOF=6，S△COE=8，S△BOC=12，求四边形AEOF的面积。

我们要求的是四边形AEOF的面积，而已知的是△BOF、△COE、△BOC的面积。连接AO，将四边形AEOF分割成两个三角形△AOE和△AOF。分别设S△AOF=x，S△AOE=y，如果能求出x、y的值，那么四边形AEOF的面积就可求出。而这个题目的关键点是△ABO与△AOE同高，△AOF与△AOC同高，由此得出方程组：

解这个方程组得x=9，y=10，由此得到四边形AEOF的面积为19。

应用方程思想解平面几何计算题，不仅可以帮助学生找到解题的有效途径，培养学生的思维能力，更重要的是让学生懂得解几何题时可以突破几何推理，把几何问题转化为代数方程加以解决，而且可启发学生运用几何方法与代数方法相结合，用化归转化、数形结合的思想来突破求解，从而拓展学生思维，培养学生创新意识和能力。

二、分类讨论思想

分类讨论是在处理一些数学问题时，把所要研究的数学对象根据需要划分为多种不同情况，然后对各种情况加以分类，并逐类进行研究和求解的一种数学思想。分类讨论思想，又称“逻辑化分思想”。分类讨论思想在初中教学中占有十分重要的地位，相关数学问题具有明显的逻辑性、综合性和探索性，它可以将一些复杂的问题分解成若干个简单的问题，还可以提高学生全面思考问题的能力，从而避免“丢值漏解”情况的发生，以提高学生的数学思维。

例2：已知⊙O的直径为10cm，AB、CD是⊙O的弦，其中AB=6cm，CD=8cm，且AB∥CD，求AB与CD之间的距离。

根据题意可分为两条弦在圆心异侧和同侧两种情况，结合垂径定理和勾股定理计算得出：两条弦之间的距离分别为7cm和1cm。

分类讨论思想的基本步骤为：分析讨论对象—确定分类标准、合理进行分类（不重复不遗漏）—逐层分类讨论、分步归纳—归纳总结。

在应用分类讨论思想的过程中，教师要引导学生注意以下几个问题：1.明确分类的对象是确定的，是根据数学对象本质的相同点和差异点进行分类的。2.分类过程不重复、不遗漏。3.分类标准是统一的，避免盲目分类和主观臆测。4.由易到难，不断总结提高，注重简化分类，逐步优化解题过程。对于分类讨论思想的学习和应用，教师要逐步渗透，让学生反复总结和思考，使学生通过较长时间的培养，形成分类讨论的意识，有效提升学生思维的缜密性、条理性和灵活性，为学生今后的学习奠定良好基础。

三、数形结合思想

数形结合思想，从字面上理解就是把数学中的“数”与“形”有机结合起来解决数学问题的思想，具体来说，就是将抽象数学语言与直观图形结合起来，把抽象思维与形象思维结合起来，通过数与形之间的对应和转换来解决数学问题。如数轴的引入，就是数形结合思想的典范，它对学生比较有理数的大小、相反数和绝对值的几何意义的理解有很大帮助。这种抽象与形象的结合，有效训练了学生的思维，有助于学生把握数学问题的实质。使用数形结合方法，能使很多问题迎刃而解，而且解法便捷。

例3：将边长为1的一个小正方形与边长为2的一个大正方形（如图所示）连接在一起，要求学生只能剪两次，问学生应如何裁剪拼装，才能使原图形成为一个新的大正方形?

一开始，大部分学生都无从下手，一少部分学生会尝试裁剪拼接，极少有人能在短时间内拼凑好。当学生冷静下来后，教师提醒学生这个问题的关键点是图形有变化，而面积不发生变化，并且最终形成的图形是一个正方形。学生很快分析出：两个小正方形的面积和为1+4=5，新拼出的图形为正方形，面积是5，由此得到新正方形的边长为[5]，这样一来，我们仅需沿着（图中所示）边长为[5]的线段裁剪即可。

上面这个问题的解决，是我们从图形“变”中看到了面积的“不变”这一关键点，从“形”的表面变化找到了“数”这一实质的不变。一个看似纯几何的问题，在“数”的指引下得到了很好解决，这种由表及里、形中有数的思想方法，正是“数形结合”思想方法的体现。

著名数学家华罗庚说：“数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞。数缺形时少直觉,形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。”数学知识是“有形”的，而数学思想方法是“无形”的。知识是明线，写在教材里；思想是暗线，体现在知识与技能的形成过程中。结合具体内容进行数学思想方法渗透，已成为教师教学行为中的现实问题。作为数学教师，如何调控自己的行为，让一明一暗两条线在课堂中齐头并进，成为课堂教学的关键。随着数学研究范围的扩大，仅用传统综合几何的方法来解决数学问题越来越困难，因为许多问题特别是证明问题往往需要高超的技巧才能奏效，而且推演、论证的步骤又显得相当繁难，缺乏一般性的方法，这样使得几何学难以发展。数形结合的思想把复杂问题简单化、抽象问题具体化，让人们更清楚地看清现实世间的万事万物。

四、转化与化归思想

在处理一些问题时，有时直接求解困难重重，我们不得不通过观察、类比、分析、联想等思维过程，采用合适的方法将遇到的困难问题进行转换，使其转化为一个相对来说较为熟悉、简单的问题，然后通过熟悉、简单问题的求解达到解决问题的目的，这一方法称为“转化与归纳”。“转化”是将数学命题由一种形式向另一种形式的转换过程;“化归”是把待解决的问题通过某种转化过程归纳为一类，转化成比较容易解决的问题。

在使用转化思想方法时，应注意几个基本原则：1.将陌生问题转化成熟悉问题，以便于我们运用熟悉的知识和经验来解决问题。2.将复杂问题转化成简单问题，通过解决简单问题，达到解决复杂问题的目的，或者是获得某种解决问题的启示或依据。3.将抽象问题转化成直观问题，就是将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。

例4：常见的代数问题中的“握手问题”：有n个人见面，若两个人之间要握手一次，共握手多少次？答案为n（n-1）/2，我们可以利用这一结果，转化处理如下几何问题：

1.平面内有n条直线两两相交，最多有多少个交点？

2.同一平面上画n条直线，可以将这个平面最多分成多少部分？

3.一条直线上的n个点，以其中任意两个点为端点，共能组成多少条线段？

4.端点的n条射线，共形成多少个角？

5.一个n边形，在确定它的对角线的条数时，也用到这个“握手”问题。

当然，其他的方法，如构造（添加辅助线）法、等积（同底等高、等底等高、等底同高）法、对称、平移、旋转、相似等更通俗易懂的方法，在几何解题中也频繁用到。

数学思想方法是培养学生核心素养的重要途径，掌握数学思想方法能有效提升学生数学知识的运用能力，对学生的今后发展具有重要影响。在教学过程中，学生通过阶段性的训练和总结，不仅提高了学习兴趣和思维能力，还形成了自己的学习方法，大部分学生做题有章可循，分析问题、解决问题的能力明显得到提升，学习兴趣也极大提高。

作者单位  山东省富平县东上官初级中学

责任编辑：张言