现代数学主要研究的是数量关系和空间形式，数形结合思想就是把两者联系起来，相互描述分析的一个思想方法。数是抽象的，形是形象的，数形结合思想能够将抽象关系形象化，更利于理解和掌握。函数是数形结合思想的一个体现，初中数学主要介绍了函数基本概念、一次函数、正比例函数、反比例函数和三角函数等，是学生日常学习及升学考试的重难点。因此，如何更好地运用数形结合思想开展教学，帮助学生理解和掌握函数知识，为学生后续学习打好基础是教师值得思考的问题。

一、数形结合思想在初中函数教学中的体现

函数是数学的基础，新课程标准实施以来，学生自初中开始系统地学习函数。函数无论是抽象度还是理解度都上了一层楼，很多学生开始学习时都摸不着头脑。归根结底，是因为函数概念太过抽象。除函数基础概念外，一些具体函数如一次函数、二次函数、反比例函数和三角函数等，都兼具数量关系和空间关系两个特点。因此，函数本身是数形结合的统一，这为数形结合思想教学奠定的基础。

以一次函数为例，数量关系表达式为[y=a+bx，ab]的符号可能同时为正或为负、一负一正或一正一负。从数量表达方式看，它们差异不大，但在图形表达上，[a]正[b]负，经过一、二、四象限；ab同时为正，则一次函数经过一、二、三象限；[ab]同时为负，则经过二、三、四象限，[a]负[b]正，则经过一、三、四象限。又如二次函数，有三个变量同时影响函数结果，不画图只计算数量关系，计算量非常大，且难以发现函数变化的规律，结合图形学生就很容易总结出[y=ax2+bx+c]中[c]决定了抛物线与y轴的交点，[a]的正负号决定了函数的开口方向，[a]和[b]会影响对称轴的位置等知识点。

除了基本图形以外，数形结合思想对学生理解函数的性质也有着重要的作用。例如学习函数的定义域、单调性时，学生只观察一次函数表达式[y=ax+b]，难以直接得出结论，而画图后就能很容易看出函数的定义域，即x的取值范围是无限的；再如学习分段函数时，学生通过观察表达式难以确定单调性，但画图后就一目了然。

数形结合思想融入函数教学的理论基础是建构主义理论和表征理论。建构主义理论认为，个人的学习是一个基于原有基础，吸收新知识和构建知识体系的过程，任何知识都不可能是凭空掌握的，都是由浅及深、由易到难的过程。从这个意义上讲，图象是学生已经掌握的基础知识，函数表达式是新知识，从图象认识表达式，既符合建构主义理论主张，又符合常人对数学学习的感知。表征理论认为，人们的学习对象总会以某种形式外在呈现出来，如函数的对应关系是自变量和因变量的对应关系，其需要通过一个数学表达式或函数图象的形式来表现。初中函数内容比较基础，可以用图象和表达式表达函数关系。

综上所述，教师在教学中要引导学生正确认识数量和图形之间的关系。虽然数形结合思想对函数教学非常重要，但函数关系抽象，理解难度大，图形只能起辅助作用。

二、数形结合思想在初中函数教学应用时存在的问题

1.学生的掌握程度有待提升

初中数学进入函数以后，无论是知识量还是难度都明显地上升了一个层次，不再是简单的运算或几何图形描述了，而是引入了更多抽象概念，让学生探索数量关系和空间关系的规律。部分学生刚刚接触函数时不知如何入手，对图像表达函数关系式的方法理解比较困难，接受程度不高。有的学生只是死记硬背函数图象，做题时一筹莫展。如果这一瓶颈期持续过久，将会影响学生学习的积极性，打击学生的学习信心，导致部分学生的数学成绩在学习函数后有了显著的下滑。究其原因，表面上是学生对函数概念没有掌握好，实际上是学生缺少一个良好的学习方法，他们对数形结合思想陌生、不接受，或接受了不会使用。有些学生虽较好地掌握了数形结合思想，但解决实际问题时还是靠记忆或复杂的数量推导，学生主动使用图形辅助分析理解问题的能力有待加强。

2.教师的教学方法有待改善

初中数学教师普遍认为，函数在初中数学知识体系中占据着重要的位置，在升学考试中的分值占比高、难度大。大多数教师认为，函数教学不能照本宣科，要应用数形结合思想，利用图形辅助学生理解数量关系。但实际教学中，在如何引入图形、将图形与数量关系相结合的问题上，部分教师缺乏良好的教学方法，有的直接把图形画出来，让学生机械记忆，导致学生存在不求甚解、死记硬背的问题。有的忽视了学生对数形结合思想的接受、理解及应用能力，只以学生解出题目为教学目标，这种填鸭式教学方法导致相当一部分学生对数形结合思想难以理解、难以接受。

3.缺少科学高效的练习

数形结合思想重在理解和应用，只靠教师课堂讲授是远远不够的，学生还要进行一系列科学、高效的练习，以巩固函数理论知识，提高解题能力。但从实践来看，不只是学习函数，整个初中阶段的数学学习，不少学生科学高效地练习少，虽然做了不少题，但只围绕几个知识点进行，使用数形结合思想解决的问题少，日常练习不到位，上了考场就会暴露短板。究其原因，主要有两个方面。一是教辅材料选题和编排质量不一，部分教辅材料题目设置随意，没有根据学生的学习规律由浅及深地引导学生练习函数；二是教师布置练习题时缺乏整体考虑，没有针对学生的薄弱点有的放矢地选取习题。

4.学习总结和反思不到位

数学学习是一个总结、反思和提高的过程，但是从实践来看，大多数学生没有养成总结和反思的习惯，特别是九年级学生在学习二次函数时，由于临近升学考试，学生更多的是求快，囫囵吞枣，只按照升学考试方向做习题，认为没有必要总结和反思，学习的知识不够牢固，题目一变就不会算了。加之，数形结合思想本身有一定难度，在初中函数学习中，学生如果缺乏必要的总结，难以使知识体系化，不利于应用解题。

三、数形结合思想在函数教学中应用的对策

1.培养学生的学习兴趣

兴趣是最好的老师。在函数教学过程中，教师可以引入具体例子。例如，商场的打折促销活动：购买额在500元以下不打折，501—1000元以内超额部分打8折，1000元以上超额部分打6折。这是一个分段函数问题，教师可以让学生画出分段函数图形，观察其中的数量关系，并计算实际购买额为800元时，应该支付多少钱。又如，讲授二次函数与一次函数交点问题时，教师也可以让学生先画图形，大致判断交点的位置，再用公式计算验证。如果学生计算出的结果与图形推断结果一致，就会增强学生对数形结合方法使用的信心。同时，学生也要端正学习态度，函数学习不是一蹴而就的，特别是与之前的知识点相比，函数理论性更强、更抽象，学习初期难免会遇到一定问题，但数学学习本身就不是一帆风顺的，学习本身也是自我突破、自我超越的过程，学生要克服畏难情绪，不能避重就轻，遇到问题要端正态度，积极向老师和同学请教，更好地理解数形结合思想，提高学习效率和学习成绩。

2.优化数形结合思想教学方法

教师要立足于函数教学实践，分析和总结学生对数形结合思想接受难、成绩一般的内在原因，并积极调整和改进教学方法。以二次函数y=[ax2+bx+c]为例，新课标列出的教学目标包括三个层次，一是了解二次函数的图像形式，即抛物线的相关概念，并能够自主绘制抛物线，掌握二次函数性质；二是让学生体会数形结合思想；三是培养学生的动手能力、合作精神等。教师可以带领学生先复习函数的基本概念、一次函数和正比例函数、反比例函数的公式和图像，让学生“温习”数形结合思想，重点回顾“描点法”，即绘制一次函数直线的过程。复习完一次函数后，教师可以给出二次函数的几个点[（x，y）]，让学生使用描点法尝试绘制二次函数图像。通过描点法绘制二次函数图像，学生更容易接受二次函数的概念和图象。此时，教师可以改变a的符号，让学生再尝试绘制。绘制过程中，学生发现[a]由正变成负数后，二次函数图像的开口从向上变成了向下，便自主地得出了结论：[a]系数为正，二次函数抛物线开口向上，[a]系数为负，二次函数抛物线开口向下。正是由于学生全程参与了二次函数图象的绘制，他们才能对函数图象的特征掌握得“顺理成章”，在解决问题时才能记得住、记得对、用得好。对于[a]系数的扩大或缩小，例如[a=12、a=2、a=4]等变化，教师同样可以让学生在课堂上使用描点法画出图象，观察对比后得出结论。

在完成上述教学过程后，教师要引导学生通过总结数形结合方法归纳得出的二次函数的特征。例如，在解决“已知抛物线[y=3x2+6x+9]，抛物线的开头是向上还是向下？对称轴是在[y]轴左侧还是右侧？抛物线与[x]轴、[y]轴的交点是哪个”这些问题时如果学生还未能迅速反应过来，教师可以留作业，请学生逐个画图得出答案。反复练习，增强学习记忆，提高学习效果。学生基本掌握二次函数抛物线特征以后，教师可以引导学生观察抛物线并思考问题：“抛物线上总是有个最高（最低）点，这个点和对称轴有什么关系？”学生通过观察图像，结合数量关系很快就会得出结论：极值点一定位于对称轴上。在完成上述教学环节之后，学生对二次函数已经有了比较全面的认识，此刻再加入练习题，就能起到很好的巩固作用。

3.开展科学高效的习题训练

数学学习是一个“知、懂、会、熟、巧”的过程。学生学习初中函数数形结合思想时，不能仅停留在最基本的“知”和“懂”的层次，还要在“会”用理论知识的基础上，熟练解决问题、巧用理论快速解题，这些是建立在必要的习题训练的基础上的。因此，教师在选择习题时要注重三个方面的内容。一是要以课程标准为基础，不追求超纲的偏、难、怪习题，要注重基础知识的训练。当学生熟练掌握了函数的基本概念、基本性质后，教师可以安排一些稍微复杂、抽象的习题，启发学生的研究思维、发散思维和创新思维；二是要由简单到复杂地选择习题，逐渐提高习题的难度，让学生根据数形结合思想思考一些更为复杂的问题，切实提高学生解决问题的能力；三是习题要贴近升学考试习题，以此提高学生的应试能力。

4.培养学生的思考总结能力

在教学过程中，教师应当引导学生思考、总结数形结合思想在函数中的应用，具体包括三个部分。一是针对函数基本概念类考题，教师可以要求学生画出函数的大致图像，观察总结函数的基本特征。如一次函数a系数的正负号，对直线方向的影响；[ab]系数的正负性决定函数图象经过的象限；反比例函数[k]的正负对曲线位置的影响；二次函数系数[ab]决定对称轴的位置等。这类考题比较基础，但学生需要画出函数图象的大致位置才能准确判断。二是针对函数性质类考题，如二次函数的极值问题，让学生通过画图大致判断极值位置，再利用数量公式加以验证，如果图象位置和计算结果不同，那么说明有一个判断是错误的。三是针对函数应用问题，如单价随数量变化而变化，求总价最低的问题。其本质是二次函数问题，学生只需计算得出二次函数的表达式[：y=ax2+bx+c]后，求出极值即可。

在教学过程中，教师还要引导学生反思自己在学习函数的过程中存在的问题。例如，学习一次函数时，求解直线与坐标轴的交点，学生如果使用公式计算，容易因为符号问题计算错误，但如果先画出大致图形，就可以规避符号计算错误的问题，就能提高做题准确率。

5.善于使用多媒体教学

数形结合思想除了以“形”表“数”外，还有一个作用就是将数量关系的变化通过图形变化体现出来。例如，解决二次函数[y=2x2+4x+6]这一问题时，当[a]从2变为[12]时，抛物线开口会扩大，但对于学生而言，扩大的过程及幅度始终没有一个清晰直观的概念。如果仅凭教师在黑板上画图，就会导致教学效率低，且难以形象地表达抛物线的变化过程。因此，有条件的学校可以探索使用多媒体教学，教师可以利用数学教学软件和多媒体设备将函数图象变动过程清晰直观地展现出来，让学生更好地理解。

总之，数形结合思想在初中数学函数部分的应用非常典型。当前，数形结合思想的应用还存在一些问题，笔者在本文中有针对性地给出了具体的应用方法和解决建议，包括培养学生的学习兴趣，优化数形结合思想教学方法，开展科学高效的习题训练和培养学生思考总结能力等，相信笔者的研究对初中数学教师提高函数数形结合教学效果具有一定的借鉴意义。

作者单位   山东省潼关县城关第二初级中学

责任编辑：张言