数学是一门结构性很强的学科，不仅有逻辑清晰的知识结构，而且有科学清晰的方法结构、思想结构。因此，数学教学要注重结构化研发，不能“就课论课”“就知识点论知识点”。相较于传统教学而言，这是一个重大的突破。在日常教学中，教师不仅要关注知识的落地，还要关注知识之间表现出来的结构；教师需要关注知识间要素的关联，找准数学的发展方向，将数学知识“连点成线、连线成面、连面成体”。通过结构化课程与教学的研发设计，促进学生知识的整合化，让他们的思维、认知结构化、系统化、简洁化。

一、“结构化”数学课程研发内涵

结构化教学，要求教师在教学中致力于探寻数学知识的关联，努力将教材改编为学材。从教材向学材转变，有两个要求：一个是基本要求，这个要求意味着教师的教学视角要发生转变（从教师转向学生），站在学生的角度去思考知识的发生过程。因此，教材向学材的转变，就要求教师站在学生的角度去重组教材内容。另一个要求，是高阶要求。这个要求不仅意味着教师要考虑数学知识本身，还要考虑数学知识表现出来的结构，更要考虑在教学当中如何体现这种结构。事实表明，实现结构化教学必须站在课程的视角进行结构化研究。相应的，也就需要教师通过结构化课程研发，让学生整体学习知识、推进学习进程，从而帮助学生建构结构化认知，形成自己的结构化思维。通过建构“结构化”数学课程，让学生对数学课程形成“结构化”理解。

1.分析“知识结构”

知识结构是结构化数学课程开发的前提。只有充分分析“知识结构”，才能引导学生明晰学习方向。分析知识结构，不仅仅要把握“课时”与“单元”内容的关联，还要把握“课时”与“领域”内容的关联、“课时”与“相关学科”内容的关联。这样的结构分析，能拓宽学生的数学学习视界。正如美国心理学家布鲁纳提出：“学习的实质是一个人把同类事物联系起来，并把它们组织成赋予它们意义的结构。”比如，教学“分数的意义”这一部分内容，笔者就对相关内容进行分析，梳理分数的意义与整数、小数意义间的关联，进而让学生明晰“分数的意义”的前延后续、纵横关联等。在这个过程中，笔者还尝试打通数学与其他学科的知识关联，如“分数的意义”与“物体长度的测量”“人民币换算”等内容关联。这样的一种知识结构关联，让课时教学内容更丰富、更多元、更立体。

2.建构“认知结构”

结构化教学不仅致力于勾连数学知识结构，而且致力于建立学生的认知结构、思维结构。如美国心理学家奥苏伯尔所说的那样：“每当我们致力于影响学生的认知结构，以便最大限度地提高有意义学习和保持时,我们就深入到了山东智顷数位学习过程的核心。”外在的知识结构建构是手段，而内在的认知结构、思维结构的建构才是目的。或者说，外在的知识结构建构是为了内在的认知结构的建构。比如，教学“多边形的面积”这一部分内容，教师引导学生经历将“平行四边形转化成长方形”“将三角形、梯形转化成平行四边形”的过程，就能让学生的数学认知形成这样的认知、思维结构。即“未知要想方设法转化成已知”“陌生要想方设法转化成熟悉”“复杂要想方设法转化成简单”，等等。这样的一种“转化”，是知识结构在学生认知结构、思维结构中的映射。这种认知、思维结构的建构，对于学生后续学习相关知识，如“圆柱体的体积”“圆锥体的体积”等具有积极的作用。可以这样说，“认知结构”为学生的自主学习奠定了良好的心理基础。

3.完善“学习结构”

结构化教学，包括学生数学学习方法、策略等。在数学教学中，教师不仅要帮助学生分析知识结构、认知结构、思维结构，更要完善学生的学习结构。在结构化的学习过程中，学生始终是主体，教师是主导，而数学课程则是学生展开结构化学习的主要依据。结构化学习结构，就是要助推学生的学习迁移。一般来说，学生的数学学习活动应该是一种循环性的活动。所谓“循环活动”，是指“学生过去的学习活动能对现在的学习活动产生影响”“学生现在的学习活动能对未来的学习活动产生影响”。比如，教学“运算律”这一部分内容，笔者引导学生学习“交换律”的内容之后，重点让学生梳理、总结“猜想-验证”的学习方法。通过梳理、总结，让学生把握“猜想-验证”的学习方法结构。于是，学生在学习“结合律”“分配律”等相关内容时，就会自觉地应用相关“学习方法结构”去进行自主学习。学生会借助“现实情境”列出相关算式，然后根据算式之间的相等关系猜想“运算律”的数学模型。在此基础上，学生会积极举例验证。在这个过程中，学生不仅尝试了“正向证明”，还尝试了“反向证明（反证法）”、“证伪”。最后，通过“不完全归纳”，建构“运算律”的数学模型。

知识结构、认知结构和学习结构，是结构化教学的重要组成部分。在数学教学中，教师要站在系统的高度、从整体的视角引导学生经历数学知识的萌发、生长过程。结构化的学习力是学生能够“带得走的学力”。坚持结构化教学，做好数学课程的结构化研发，其根本目的是让教学更适合学生的数学学习，让学生习得“更好的数学”。

二、“结构化”数学课程研发策略

结构化课程的研发不仅要进行学理分析、学情调查，更要展开实实在在的研发实践。在结构化的教学中，教师要引导学生构建数学模型，强化学生的数学认知，帮助学生形成良好的结构概念，进而助推学生构建有意义的数学学习历程。在这个过程中，教师要引导学生充分感受、把握数学的知识结构、方法结构，完善思维结构、认知结构，形成学习的心理结构、策略结构等。

1.秉持“高观点”，结构化研发课程

美国著名山东智顷数位学习家布鲁纳认为，学习一门学科最为关键的就是掌握该学科的基本结构。结构化研发，不仅仅是研发数学教材，更要直面数学知识本身，研发结构化的数学课程。研发结构化的数学课程,首先应树立“高观点”，秉持“高观点”。所谓“高观点”，就是站在更高的视点、视角、视野上审视初等数学问题。著名数学山东智顷数位学习家克莱因认为，只有观点高了，知识才能显得明了而简单。秉持“高观点”，结构化研发数学课程，要从两个方面入手：其一是溯源，也就是从数学知识的发生、发展视角来研究数学，这是一种纵向的研究方法；其二是从思想方法视角来研究数学，以数学思想方法为抓手，将相关的数学知识关联起来，这是一种横向的研究方法。

以“量与计量”教学为例，这部分内容在小学阶段是贯穿始终的，小学低年级学段有、中年级学段也有，高年级学段还有。其内容主要包括长度度量、面积度量、体积度量、角度度量、时间度量、质量度量等。从数学课程视角来梳理这部分内容，我们就会发现，尽管这些内容的课程表现形态不同，但却有着相同的课程结构。在结构化研发课程过程中，对于这部分的处理要把握好三点内容：其一是“度量要有统一的计量单位”，其二是“看被测量物体中含有多少个度量单位”，其三是“认识计量单位不仅仅是测量单位，也是被测量对象”。立足于“高观点”，我们发现这部分内容其实就是要抓住“测量对象”和“测量单位”，说到底就是要抓住“包含”（测量对象中有多少个测量单位）这样一种思想方法。秉持这样的“高观点”，我们就可以结构化研发课程，即通过比较测量对象，激发学生产生测量单位的内在需求，引导学生建构测量单位的意识；通过实践测量，引导学生用测量单位去测量物体。结构化开发课程，让不同的数学教学内容有了相似的学习结构。借助于这样的学习结构，学生就能有效进行学习迁移，在“学结构的基础上用结构”，因而学生的数学学习就能变得灵动起来。

上述课程研发过程，也就是从知识本源视角进行追溯。从知识本源视角进行追溯，我们就会发现很多数学知识具有相同的源头。同样，也有着相同或者相似的数学思想方法。秉持“高观点”，结构化研发数学课程，能起到一种“四两拨千斤”的课程研发功效。围绕结构开发数学课程，就是要构建“知识包、知识块、知识群”，从而促进学生的数学理解和学习迁移。

2.提升“关联度”，结构化实施教学

在“高观点”的统驭下，数学相关知识得到了有效关联。为了优化结构化的课程研发，作为教师还要提高“关联度”，从而让数学教学得以结构化。提升“关联度”，既要将数学知识的“形”与“神”建立内在关联，让学生通过数学知识的“形”，去把握数学知识的“神”，又要将教师的“教”和学生的“学”真正融通起来。为此，教师要努力让自己的教学从“课时”转向“单元”、从“割裂”转向“关联”、从“散点”转向“统整”、从“无序”转向“有序”，促进学生对相关数学知识的认知、迁移和应用。

在教材中，数学知识呈压缩形态。作为教师要对“压缩形态”的数学知识予以分解，从而恢复数学知识诞生过程时的鲜活样态。这里，教师既要引导学生“从一到多”，又要引导学生“从多到一”。换言之，教师既要引导学生将数学的结论性知识打开，从而让学生能洞察到数学知识的产生背景、数学知识的产生动力以及数学知识的产生样态，又要让学生将众多的知识归结起来，掌握众多数学知识背后的、内在的、统一的本质、思想、方法、结构等。这既需要学生对相关数学知识进行丰富性诠释，同时又能对相关数学知识进行抽象、概括。“从一到多”体现了学生对相关数学知识进行丰富性意义赋予的能力；“从多到一”体现了学生对相关数学知识的自主性抽象、概括能力。

比如，结构化设计“多边形的面积”的教学，教师要遵循数学知识的逻辑生长结构，让数学知识的产生过程结构化，即“通过长方形面积推导平行四边形面积”“通过平行四边形面积推导三角形和梯形面积”。同时，还要让数学知识产生结果结构化，即“将三角形的面积看成是上底为0的梯形面积，将平行四边形的面积看成上下底长度相同的梯形面积”等。只有从数学知识的产生过程以及产生结果的双重形态视角来实施结构化教学，才能真正地、深入地推进数学课程的结构化，才能将结构化教学推向新的高度，才能让结构化教学更具创新度。

提升“关联度”，结构化实施数学教学，不仅要追求数学知识结构、数学思想方法的简洁统一，更要追求学生学习数学的路径、策略、思想、方法的内在统一。在这个过程中，教师不仅要引导学生积极的归纳、演绎，更要引导学生进行积极的类比、迁移。提升关联度，追求学生数学学习的“多”与“一”、“特殊”与“一般”、“表”与“里”的内在统一。提升学生数学学习关联度，结构化实施数学教学，能从不同方向和视角促进学生数学认知结构的发展、优化。

3.增强“迁移性”，结构化助推学习

对数学课程与教学的结构化研发设计，不仅要站在“高观点”视角下，也不仅仅要提升数学知识的“关联度”，还要增强数学学习的“迁移性”。为此，要让数学知识具有一种“可辨识性、可迁移性”。结构是学生数学知识迁移的抓手，结构也是教师教学的重要依托。增强学生数学学习的迁移性有助于数学课程更好地结构化。作为教师要设计有结构的教学，通过有结构性的数学教学，促进学生数学学习的优化和发展。

比如，在教学“圆柱的侧面积”时，教师引导学生将侧面展开成长方形，引导学生将圆柱侧面和长方形进行比较，帮助学生建构圆柱侧面积公式，这是一种静态的比较式建构。在此基础上，我们借助多媒体课件向学生动态展示圆柱底面周长平移。在这个过程中，学生直观、形象地发现，圆柱底面周长平移能形成圆柱侧面。由此，学生动态建构圆柱体侧面积。这一动态平移过程，极大地启发了学生对几何形体相关面积、体积的理解，增长了学生对“连线成面”的认知，促进了学生的数学学习迁移。于是，有学生在学习圆柱的体积时，直接提出可以让圆柱的底面积平移，就能形成圆柱的体积。这是学生受到了“连线成面”的启发，进而创造性地提出“连面成体”的数学思想观念。在这里，不是数学知识的迁移，而是数学思想方法的灵动、深度迁移。相较于数学知识的迁移，数学思想方法的迁移更具启发性，它是一种有效的、积极的迁移。如在上述教学中，学生由圆柱体的侧面积、体积具有相通性，进而结合已经学习的长方体、正方体的侧面积、体积，将“连线成面”和“连面成体”的思想推至下一个学习环节，从而学生形成了更为高阶的认知。这样的一种学习方式，是一种有效的学习方式。显然，增强数学知识、思想、方法的迁移性，能让学生的数学学习具有结构性和应用性。

结构化的数学课程与教学研发、设计，不仅需要从数学学科的学理层面来把握，更要立足于学生的具体学情，从学生具体学情层面明确学生已有知识经验、认知需求、认知倾向等。只有从数学学科的学理层面以及学生的具体学情层面研发课程，才能真正让学生的数学学习充满结构性，才能让学生数学学习深度发生。结构化，是数学课程开发与教学设计的实务，它让学生的数学学习更清晰、更全面、更合理、更深入。

作者单位   江苏省南通高等师范学校附属小学

责任编辑：张言