史宁中教授在《基本数学思想18讲》一书中说：“生活中的故事要比自然界的故事更加繁杂。造成繁杂的原因往往是一些说不清、道不明的人为因素的干扰。因此，讨论生活中的数学模型要比讨论自然界的数学模型更为困难。即便如此，我们仍然希望讨论生活中的数学模型，因为这些模型能够充分展示数学是如何成为人们生活中不可缺少的工具。”数学建模就有这样一种魔力，能够让课堂中的教师和学生，课堂外的伙伴和队友感受到数学模型解释甚至改造世界的魅力。很多学生在接触过数学建模之后，表现出前所未有的学习兴趣和动力。那么，数学建模教学的开展、数学建模素养的落实和提升是不是一帆风顺呢？其实，数学建模素养在高中阶段的提升，无论是对于教师还是学生都不是一件容易的事，到底难在哪里？怎么突破难点？教学中一个“另类回答”给了我很多启示。

人教A版数学必修一在“指数函数与对数函数”一章中，提供了大量与指数函数和对数函数有关的素材，让学生进行抽象概括。在函数的应用中，将实际问题抽象为函数模型，从而解决实际问题，让学生充分理解其数学表达的含义，同时掌握用函数构建数学模型的基本过程。在“指数函数的概念”这节课中，教材是按照概念形成的一般过程进行的，首先从景区游客人次增长，碳14衰减等具体背景出发，通过运算发现其中的指数增长和指数衰减的变化规律，然后归纳其共性得到指数函数的一般表达式。教学中要求教师能够结合素材，引导学生从数学视角发现问题、提出问题、构建指数和对数函数模型，确定模型中的参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决问题，让学生体会数学的来源与应用，丰富学生对数学的认识，以提升数学建模素养。

那么，哪一个过程在教学中是最困难的呢？是对实际问题的理解，还是数学模型的构建？在开展实际教学之前，笔者认为计算求解、检验结果、改进模型是最难的，但实际教学中我的这一想法改变了。下面，以“指数函数的概念”案例1“景区旅客人数增长问题”为例，进行说明。

案例：随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式，由于旅游人数不断增加，A、B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地取消了景区门票，表格给出了A、B两地景区2001年至2015年的游客人次，以及逐年增加量（表格略）。

通过学生的自主学习和独立思考，笔者列出五个自学问题：（1）案例中的变量有几个？分别是什么？它们之间是否具有函数关系？（2）通过分析A、B两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的规律？（3）能否做出A、B两地景区游客人次变化的图像，根据图像结合旅游人次的增加量，说明两地景区游客人次的变化情况？（4）能否求出两地景区游客人次随时间（经过的年数）变化的函数解析式？（5）既然“增加量”不能刻画B地景区人次的变化规律，能不能换一个量来刻画？试一试增长率，即从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，看看能否发现什么规律？此时，能写出游客人次随时间（经过的年数）变化的函数解析式。

通过20分钟的自学，笔者对学生提交的自学学习单进行分析，在五个具体问题的引导下，学生利用已知数据来说明图像的变化规律，并从图像得到启发去处理数据，从而以数形结合的方式发现实际问题变化规律，这个过程的表现是很好的，这充分说明高一学生已经具备了一定的数据分析、数学运算、逻辑推理的能力基础。随后，我问学生：“大家认为，A地提高景区门票价格、B地取消景区门票的初衷是什么？”没想到一问激起千层浪，有学生回答：“A地提升门票价格的目的是为了增收，B地取消门票的目的是为了吸引游客，通过其他消费提高景区收入。”还有的学生回答：“A地提升门票价格的目的是为了限流，即限制游客人数。B地取消门票的原因是景区游览价值不高。”对于后者的“另类答案”，我一方面感到诧异，一方面也深以为然，我明白这个答案的产生，不是简单的数学建模素养缺失导致的，更深层次的原因在于学生对生活现象的关注不够、思考不够导致的。于是，针对这个问题，我给学生布置了一个课后任务，通过查询、访谈了解下面内容：（1）旅游景区游客容量管理的方式。（2）近年来，景区对门票价格调控的各种举措及效果。通过一周的学习，在后面的分享中，学生指出，调节客流时间分布，平衡季节旅客人数，确实会采取季节票价调节客流时空分布，但通常是门票价格在旺季时提高，淡季、平季时降低，跟大家所想的“提高门票是为了限流”并不符合。一般情况下，景区限流的方式有多种，如一旦景区饱和，则不再对外出售门票，停止游客进入；也可以设计多条游览线路实施景区内分流；也可以扩大景区容量，提高接待能力。

更让我惊喜的是，学生通过查阅和学习，提出了这样的观点:提高门票价格看似维持了短期的利润，却限制了旅游市场在创新服务、提升旅游品质和周边产品开放等方面的动力。取消门票的同时，也应尽早思考如何完善景区内部设施，提升景区周边消费的吸引力。有一位同学说：“我好像突然明白了之前做过的问题里的固定成本、机动成本、宣传费用等难懂的名词是什么意思了。”

数学建模在高中教学中的现状是，经过多轮次的培训和学习，教师已然认可了数学建模素养培养的必要性和重要性，原因是大多数一线教师认为数学建模素养的培育，必须通过完整的数学建模活动，而完整的数学建模活动又需要一定的数学建模活动和数学探究活动的经验，这样的理解让教师内心滋生出对数学建模的畏惧，阻挡了大家对数学建模素养提升的进一步思考和探索。笔者认为，初高中数学学习过程中数学建模素养的培养，可以分为四个层次:层次一，立足于教材中有背景的问题，不是看到背景而是理解背景，这就需要教师适度给学生提供与问题背景相关的阅读材料，让学生理解数学问题的产生是基于背景下的合理抽象，背景是数学问题的源头而不是装饰，教学中教师要让学生独立阅读，理解，抽象，建模，求解；层次二，对教材中有背景的问题进行改编，将理想化的条件适度改为开放性的条件，让学生重新经历建模过程；层次三，对教材中的数学探究活动进行专题研究。张思明指出：“中学数学建模从数学的意义上可以理解为‘在中学做的数学建模’专业要求不高，而从课程的角度可以理解为在中学实施的特殊课程形态，它是一种以‘问题引领，操作实践’为特征的活动性课程。”这样的专题课不能采用传统的讲授法进行教学，我们可以结合建模学习、数学实验、探究学习和主题阅读等方式，让学生充分体验数学建模活动的完整过程；层次四，让学生在生活中发现问题，然后提出问题，再进行建模活动，当然，这一层次对学生和教师的要求是最高的，学生将要经历从数学知识的直接应用与渗透，到自主进行完整的建模活动的这样一个过程。由于工作量大，学生是存在困难的，这时小组合作的优势就体现出来了，在小组长的协调组织下，小组成员分工明确，相互帮助、支援，做到了人人参与，人人有事干，让原本庞大的工作量有了可实施性。针对很多教师对数学建模底气不足、经验不够的问题，数学教师也意识到这并不影响师生共学、师生共做数学建模，教学中教师给学生呈现的不仅仅是自己的学习积累，更应该是自己的学习能力，因此重视数学建模问题的学习路径和方法，让学生和教师在共同的学习过程中得以提升。

如此，学生的学习不再是被动地接受知识，而是在教师有意识的引导下，通过合作探究主动参与到整个学习的过程中。在放手让学生主动去学的同时，并不意味着要将教师的作用排除在课堂之外。在开题环节上，学生需要教师引导去分析课题，指导如何撰写开题报告；在做题环节，学生由于知识水平的不足，需要教师引导去发现短板，以及运用哪种方法去检验函数模型的优劣。

当然，数学建模之重要必然决定了数学建模之繁复，但只要具有数学建模的意识，按照以上四个层次逐层递进，不断引导学生探寻解决问题的路径，促进反思与批判性思维的形成，最终使学生深刻感受到数学在自己的日常生活及未来职业发展中的重要作用，数学建模素养的培育就不再是梦想。

作者单位   山东省铜川市耀州中学

付　伟

责任编辑：张言