苏霍姆林斯基曾说过：“儿童的智慧全在他的指尖上。”即“做中学”，但如果仅将“做”理解为“动手操作”的话，难免狭隘。广义讲，学生亲历一切数学学习活动的过程都是在“做数学”。在多年的一线教学过程中，笔者从教学实践的角度提出“做数学”的操作性概念，在“指尖”数学、“口头”数学及“笔尖”数学的系列化实践中积累了一定经验，有效促进了学生学科思维、跨学科思维、高阶思维、创新思维、行动思维和反思思维的提升。

“笔尖”数学，顾名思义指以“动笔写作”为主要方式的数学学习活动，是“口头”数学和“指尖”数学的进阶与补充，属于“做数学”活动的高级阶段。教师熟悉的数学日记、数学小论文、数学作文、思维导图、画数学等都可归入此类。其中，数学日记主要应用在小学，以中、高年级居多，它强调以日记的形式把数学学习内容、学习过程中的困惑、收获及思考等记录下来。数学小论文更适合初、高中学生，小学高年级也偶有采用，它重在以小论文的形式，研究数学学习中遇到的知识或用数学的方法解决生活中的实际问题。在小学，数学日记和数学小论文常以数学作文的形式出现。高年级的“笔尖”数学，着力于引导学生发现生活与数学的连接点，梳理数学知识间的异同点，洞察知识的本质，并理顺其逻辑关系，以写促做，以写促思，鼓励学生像专家那样运用大概念进行结构化思考，从而丰富学生学习数学的形式，提高学生学习数学的兴趣，拓宽学生数学核心素养的培育路径。

 一、“笔尖”数学活动的实施路径

从2018年开始，笔者在所带班级开展了“笔尖”数学教学尝试，最近两年共整理学生作品80余篇，有近20篇发表在《数学大王》《数学小灵通》《智力数学》等杂志上，逐步摸索了一条“写作—发表”双线并行的实践路径。写作是发表的前提，作品的发表可以激发学生写作的热情，从而实现“以发促写”的良性循环。

一般而言，小学生的数学写作与语文类似，大致会经历选题、构思、撰写初稿、修改、定稿等五个环节。数学写作更注重用数学眼光观察现实世界，用数学思维思考现实世界，用数学语言表达现实世界，即更强调理性思维。其中，选题是所有环节的基础，好的选题可以起到事半功倍的效果，文章通常按照“叙述+议论”的方式展开，完成初稿后进一步修改，一般先由学生对文中的错别字、标点及语句等进行自改或生生互改，必要时由教师或家长结合文章论述逻辑、立意等进一步指导，最后交学生修改定稿。在整个过程中，教师和家长要到位而不越位，既要适时对写作困难学生加以指导及引领，又不能越俎代庖。定稿后就要考虑发表了，即公开展示作品。教师可以根据文章质量采取班级群定期推送、张贴至班级“数学角”、收入“笔尖”数学成果集、择优投稿相关杂志发表，以及召开不同范围的成果发布会等方式，让各个层级的作品都有展示的平台，力争使人人有作品、人人可发表。另外，发表的作品随时可能进入下一轮修改的环节，以促使其不断完善。需要说明的是，各环节并非一成不变、线性推进的，而是根据学生及作品的实际情况合理增减和取舍，修改过程也就成为发展学生学科思维的良好契机。

为了提高“笔尖”数学活动的山东智顷数位学习效果，教师具体实施时须立足学生实际，遵从面向全体与部分推优相结合的原则，发挥“榜样”示范作用；坚持统一命题与自主选题相结合的原则，调动学生的主观能动性；落实学生主体与家校合力相结合的原则，促使学生素养拔节。

二、“笔尖”数学选题指导实践

高年级“笔尖”数学的选题要在坚守学科属性的基础上，突破仅仅记录数学学习过程的低级阶段，突出“数学眼光”“数学思维”和“数学表达”，既要关注学生在学习过程中对所遇数学问题的深入思考，又要重视学生对生活问题的思考和表达。

1.数学问题的再思考

学生学习数学的过程中会遇到很多需要进一步探究和思考的问题，这些问题一方面源于教材或相关拓展，另一方面离不开课外学习。因此，教师要善于引导学生对所学所见进行深入思考并尝试写作，这样学生就能慢慢学会寻找写作素材。

（1）教材上的思考题、实践活动等大都可以成为绝佳的写作素材。例如，在讲授六年级“圆柱和圆锥”一课后，北师大版教材第15页有一个“用六张长16cm，宽4cm的长方形纸”卷圆柱的实践活动。笔者在组织学生充分活动之后，引导学生选择不同切入点完成写作，学生表现出极大的积极性。其中李同学发现“圆柱体的底面半径扩大为原来的2倍，高缩小为原来的[12]，变化后圆柱体的体积扩大为原来的2倍”，并推测“如果这张长16cm，宽4cm的长方形纸如此不断剪开、拼接，所卷成的圆柱体的体积将不断增大”。面对这张小小的长方形纸，他在文末发出“感觉就像捧着一个世界”的感慨，这篇《一张不可思议的纸——“探究圆柱奥秘”实践活动》发表在2020年《智力数学》第11期。张同学以《善思辟“蹊径”》为题，围绕“如果一张A4纸最多剪一刀（沿直线），能拼接出多少种圆柱体？体积又是多少？”进行探究，通过对围出的8种圆柱体的体积计算得出“用同一张纸做圆柱，侧面积相等的情况下，底面周长越大，高越小，体积越大”的结论，并尝试用代数的方式对其进行证明，发表在2021年《数学大王》第09期。

（2）教师对教材内容的适度拓展也能激发学生写作的热情。例如，在讲授北师大版四年级《除法》单元后，笔者引发学生质疑“除法竖式一般从高位除起，能否从低位除起”，学生兴趣盎然，展开深入讨论后，明确四则运算应“双向可行”，即整数除法竖式既可以从高位除起，也可以从低位除起，但由于求简使得人们规定除法竖式从高位除起。豆同学据此写出《除法，也可以从低位算起》一文，颇受编辑老师推崇，很快发表在2022年《数学大王》第06期。

（3）课外学生感兴趣的数学内容也可以成为写作的素材。例如，刘同学对“三阶幻方”情有独钟，他将与爸爸玩“三阶幻方”，以及思考的过程写出《三阶幻方的奥秘》一文，发表在2022年《数学大王》第06期，文章结尾“在以后的学习中，我要更加努力，刻苦钻研，探索更多的数学奥秘”让人感同身受。宋同学通过《我用方程读古诗》一文，记叙了自己课外阅读时用方程解决“古诗谜题”的尝试，发表在2023年《智力数学》第06期，展现了数学“诗意”的一面。

2.生活问题的数学视角

（1）用数学的眼光看生活。“疫情”期间，被困山东师范大学校园的学生常常在操场“走圈”，王同学与妈妈在锻炼时发现了“相遇”问题，写成《走路中的“数学”》一文，发表在2023年《数学小灵通》第01期。张同学看到大家钟情于抽盲盒，思考后结合亲身经历构思完成《盲盒里的“概率”》一文，从小学生的视角运用分数揭示了盲盒背后的玄机，发表在2022年《数学小灵通》第7-8期。另一位王同学是个足球爱好者，他运用“三角形内角和”知识分析了“为什么球离球门越近，越容易射门”的问题，写出《带着“数学”踢足球》一文，发表在2022年《数学小灵通》第04期。

（2）用数学知识解决生活问题。为了测量家门口大树的高度，赵同学在妈妈的帮助下，与弟弟一起利用三角尺（结合相似原理）巧妙测量，最终写出《小三角尺的大本领》一文，让人不禁感叹：小小三角尺竟然有这么“大”的用处，该文发表在2022年《数学大王》第04期。

3.用童话表达数学

儿童是天生的童话大王，用童话的方式表达数学中的概念、原理、思想、方法等，可以让数学焕发别样的魅力。例如，学习了“神奇的计算工具”后，学生对计算器及古代计数方式产生了浓厚的兴趣。谢同学在《跨越千年的PK》一文中让石子、骨头、绳子（对应古代石子、刻痕和结绳计数）与现代计算工具计算器相遇，演绎了一场从彼此不服到相互欣赏的感人故事，揭示了“尺有所短，寸有所长”“江山代有才人出”的哲理。因浓厚的文学味，最终发表在2022年《作文大王》第04期。高同学发表在2023年《数学大王》第03期的数学童话《“小计”找工作》，则通过计算器“小计”梦中找工作，并一路帮助别人解决计算难题的经历，诠释了“天生我材必有用”的深刻道理。

总之，“笔尖”数学的实践为学生学习数学打开了一扇窗，在核心素养时代展现出了蓬勃的生命力，受到了学生的欢迎。写是做和思的进阶，只有做得扎实，思得透彻，才会写得深刻。因此，写就是学生与数学对话、与生活对话、与自己对话的过程，而思则贯穿这一过程的始终。它需要学生综合运用所学，像专家那样结构化地思考问题，从而让思维之花在“笔尖”悄然绽放。

作者单位   山东师范大学附属小学

责任编辑：张言