数学是研究数量之间的关系和物体或图形之间的空间形式的学科，这也决定了数学的强逻辑性和理性思维为主的学科性质。在教学中，我们在重视学生数学知识和技能掌握的同时，更要引导学生洞察知识的内在思想，提高学生对知识的本质认识。小学低年级的学生虽然年龄小，知识储备少，但正是由于这时学生处于学习的起始阶段，才能更好地在学生心中种下数学学习的种子。万事始于初，教学中教师要结合低年级的学习内容有意识地加以渗透，使数学思想与方法在学生头脑中生根发芽，助力学生后续的数学学习。

一、概括学习内容，由数学语言的简洁性渗透抽象的数学思想

抽象是对数量和空间形式的内在一般特征进行的深化和总结，是数学的一个重要特征。在教学时，教师要结合学习内容让学生体会数字、数学符号等，使其初步感知数学的抽象。

1.以现实情境为依托，抽象出对数的认识

对数的抽象认识，是数学抽象思想中最基本的一项。小学数学第一个学习内容为“1-5的认识”，这是学生展开数学学习的起点。在教学中，教师要通过多种生活中的学习材料，使学生由现实情境中的实物逐步抽象出数。

在教学“1-5的认识”一课时，教师先引导学生利用情境图中的实物有序地数数。如图中有2辆坦克，学生用圆片代替实物摆一摆，然后让学生说一说“我们身体有哪些是2个呢？”学生纷纷回答：“有2只胳膊、2条腿、2只手、2只脚、2只眼睛等。”这时，学生由现实情境抽象出“2”这个数。接着再让学生拿出2支铅笔、2个本子、拍2下手，使学生认识到数字“2”。在学习中，学生经历了由物到数、再由数到物的两个过程。如学生先把实物进行抽象，再把抽象的数赋予现实中，这样学生在丰富的感知中便理解了数的意义。

2.以操作过程为基础，抽象出计算方法

计算教学是小学数学学习中重要的组成部分，是进行问题解决的基础。在教学中，教师要创设各种动手操作的活动情境使算理变得直观形象，这样的操作有利于学生抽象出计算方法。

如在教学“9加几”一课中，教师引导学生列出算式“9+2”后，让学生利用手中的红色和黄色圆片摆一摆，并思考：怎样移动圆片，就能快速看出一共有几个？学生通过思考和尝试、讨论和交流，得出“看大数、分小数”，用凑十法来计算。具体的操作、形象的实物，使学生明晰了算理。

接下来，教师适时引导：我们把刚才的操作过程，用式子表示出来：9 + 2=11，学生看到用式子列出来的过程更加简洁、明了。然后，教师让学生看着式子“表述9+2”的计算过程，学生由学具操作抽象出了“9加几”的计算方法。

3.以立体图形为桥梁，抽象出平面图形

对图形认识的学习，我们一般是从常见的立体图形开始。学生只有对常见的立体图形有了充分直观认知，教师才能引导学生从这些具体的图形中抽象出常见的平面图形。

在教学“认识图形”一课时，教师先让学生欣赏由各类卡纸拼成的图画，当学生对图画有了初步感知后，让他们利用长方体、正方体、圆柱等立体模型进行分类，并画出这些立体图形中的面，以此使学生认识这些常见的平面图形。

低年级的学生对几何图形的学习，是由“体”到“形”的认识过程，也是由具体到抽象的过程。因为“体”是现实生活中的实物，而“形”是由具体的实物抽象而来的。通过对立体图形的表面进行描画，搭建具体立体图形与抽象平面图形间的桥梁，使抽象的平面图形得以充分展示，进一步拓宽学生对图形的认识。

4.以分类练习为场景，抽象出事物的共性特征

在低年级数学教学中，对物品进行分类就是通过对物品的特征进行分析，从而抽象出物品的共性特征。如把不同形状、颜色的树叶进行分类，就是自定标准的分类。教师先让学生尝试自主分类，然后通过交流，学生表述自己分类的标准：可以按形状分，也可以按颜色分。学生按照物品的特点确定了分类标准，并发现同样的物品还可以用不同的标准进行分类。

抽象是对学习内容、学习过程和学习材料的高度概括，数学的简洁美使抽象的特点凸显了出来。教师要利用丰富的学习材料引导学生进行观察和体会，发现数学知识的内在本质，感悟抽象的意义。

二、发现和证明结论，由推导的逻辑性渗透推理的数学思想

推理是通过对素材进行分析和推断，由此推导、衍生出结论的思维方式，其分为合情推理和演绎推理。在教学中，教师要为学生创设出各种推理情境，使学生由此及彼地得出新结论，促进他们知识体系的完善。

1.探索结论，发展合情推理能力

合情推理是利用对学习材料呈现的直观感受，由一而类推到三，并通过对大量同类型事例的总结，由特殊推广到一般，进而得出结论。合情推理有利于学生数学思维的发展，是新课程标准推进中需要不断被强化的。在教学中，教师要引导学生从实际出发去探索结论，拓宽学生解决问题的基本思路。

如在教学“6、7的加法”一课时，教师结合学生摆小棒、摆图片等实物操作，让学生计算：2+4=6，4+2=6。然后，教师引导学生交流：这两道算式哪里相同，哪里不同？学生观察后发现：这两道算式都是加法，加号两边的数的位置交换了，得数都是6。教师继续引导学生猜测：交换两个相加的数的位置，得数会怎样呢？学生直观认为得数不变。接下来，教师让学生进行举例验证：你还能说出这样的加法算式吗？随即，学生会根据前面的学习经验举例说明，并通过大量的例证得出结论。

如在教学“有关0的加减法”一课时，教师先让学生观察情境图：树上有2只鸟，飞走了2只。然后，学生根据图中信息列出算式：2-2=0（只）。接着，我们稍改一下图后，学生又列出算式：3-3=0（只）。教师引导学生观察这两道算式有什么特点。学生观察后发现：这两道算式，都是两个相同的数去减，结果都等于0。接下来，教师启发学生：你还能写出得数是0的减法算式吗？学生写出：4-4=0，5-5=0，1-1=0和0-0=0。由此学生发现了规律，得出了结论。通过学习过程中的合情推理，培养了学生的创新思维能力和创新实践能力，提高了学生解决问题的能力。

2.证明结论，发展演绎推理能力

演绎推理是从已确定的规则出发，研究现有的学习材料是否符合这一规则和定义，是否属于既有规则和定义框架之下。演绎推理是由一般结论延伸到具体各个独立事例的过程。在教学中，教师要通过实例引导和帮助学生学会演绎推理的方法和要求，使学生有条理地思考问题。

如教学“长方形和正方形的认识”时，当学生对长方形和正方形边和角的特点有了初步认识后，教师引导学生思考：长方形与正方形有什么关系？学生通过前面的学习，直观地认识到两种图形有许多相似之处，但对于探讨图形之间关系的题目这是学生初次涉及，这时教师要给予学生充足的时间进行交流，并适时加以引导：长方形和正方形哪一个包括的图形更广、范围更大呢？通过思考，学生明确：在长方形和正方形这两种图形中，长方形具有的是一般特征，而正方形符合长方形的这些一般特征，且具有特殊性，因此正方形是特殊的长方形。由一般到特殊，学生初步体会了演绎推理的过程。

又如，低年级中找规律圈数的题目：1、2、③、4、5、⑥、7、8、⑨、10、11、12、13、14、15、16。教师先让学生观察已圈出数的规律，然后尝试接着圈，并全班交流。有的学生说：“圈出的数加3，就是后面一个要圈的数。”有的学生说：“圈出的数再隔2个数，就是下一个要圈出的数。”学生找出规律后，正确地圈出了剩余部分要圈的数。通过学习过程中的演绎推理，学生对规则和定义有了进一步明确认识，对知识之间的联系更加清晰了。

运用数学推理，可以从现有的数学规则和定义中进一步得到大量的结论，从而使数学认知体系更加完善，促进数学学科和学生数学学习能力的发展。数学的逻辑性也在推理的过程中得以充分展现，并在后续的学习中进一步促进学生推理思想的发展。

三、建立解题模式，以数学模式的通用性渗透模型的数学思想

模型思想是从共性的问题中抽象出问题模型，在问题解决的过程中对解题思路和方法进行总结和提炼，并把求出的模式化结论运用到现实中解决问题的思想。在教学中，教师要结合学习内容，引导学生发现解决共性问题的方法，并在实际解决问题的过程中辨析不同类型的题目，选择适用的解题模型，快速且高效地将问题解决。

1.引导学生分析数量关系，掌握基本的加减乘除问题模型

小学一年级上册的加、减法问题模型为：部分数＋部分数=总数，总数－部分数=部分数。在教学中，教师要结合情境图或实际的问题情境，引导学生对已知的量和要求的量逐个进行分析，明确数量关系中是总数还是部分数。从一年级开始，教师就要注重培养学生用数学语言完整、规范地对已知条件和所求问题进行表述。在对模型的不断强化中，学生会逐步解决同类型习题。

又如二年级乘、除法问题的基本模型为：每份数×份数=总数，总数÷份数=每份数，总数÷每份数=份数。教师结合具体问题情境，引导学生分析题目中已知的量和要求的量分别是什么，并让学生学会用数学语言表述用哪一个数量关系式的模型来解答。

学生在低年级就开始接触基本的数量关系，教师要依托大量的具体情境，帮助学生从众多情境中抽象出模型，并引导其运用这些基本的数量关系模型去解决类似问题。同时，教师要让学生用数学语言清晰地表述自己的想法，发展学生的数学语言表达和交流能力。数学模型的积累是学生学习数学的基础，是数学课堂发展的铺垫。

2.引导学生有序思考，发现图形问题的解题模型

低年级的“数图形”是非常常见的内容，教师要让学生学会运用模型解题，并向学生渗透模型思想的典型题目。

如课本中的图片1：数一数，图中共有多少个角？教师先让学生尝试自主解决。学生经过激烈讨论，建立了数角的表象和经验，并在全班予以交流分享。对比学生不同的数法，教师引导他们思考：在数角时，最重要的是什么？这时学生对数角的过程进行回顾，体会到了有顺序数数的重要性，只有“有序”才能做到不重复和不遗漏。接下来，我们引导学生总结出数角的解题模型：单独角有3个，两个单独角组成的角有2个，三个单独角组成的角有1个。所以图中一共有：3+2+1=6（个）角。教师让学生用这一模型解决类似习题：_______共有（  ）个角。学生通过对模型的运用，熟练地掌握了数角的方法。

又如，课本中的图片2：数一数图中共有多少个正方形？学生在积累了前面数角、数线段的模型的基础上，教师鼓励学生尝试找出解题模型。经过探讨和比较数法，学生找出了数正方形的模型：最小的正方形有3×3=9（个），四个小正方形组成的较大正方形有2×2=4（个），九个小正方形组成的大正方形有1×1=1（个）。所以，图中共有9+4+1=14（个）正方形。同样，教师让学生尝试练习同类型的习题：某图中有（    ）个正方形，把解题模型运用到实际的练习中。

3.引导学生画图解决问题，得出“比多、比少”问题的解题模型

小学低年级加减法问题，除了基本的解题模型，还有“求一个数比另一个数多几（或少几）”和“求比一个数多几（或少几）”两种类型。在教学中，教师要引导学生画图，明晰题目中的数量关系，进而得出解题模型。

如东北虎有15只，华南虎有8只，东北虎比华南虎多几只？华南虎比东北虎少几只？教师先引导学生按照一一对应的方法画○表示东北虎和华南虎的只数，然后根据画出的图让学生进行交流：东北虎比华南虎多几只或华南虎比东北虎少几只，在图里我们要用什么方法予以表示等。学生通过观察，得出从东北虎的只数中去掉和华南虎同样多的部分，就是东北虎比华南虎多的只数或华南虎比东北虎少的只数。所以，这种类型题的解题模型为：东北虎只数－华南虎只数=东北虎比华南虎多的只数（或华南虎比东北虎少的只数）。

又如，（1）桃树有45棵，杏树比桃树多15棵，杏树有多少棵？（2）桃树有45棵，杏树比桃树少15棵，杏树有多少棵？教师引导学生画线段图表示题中的数量关系，然后通过画图明确本题的解题模型。

数学模型的最大优点就是其通用性。在教学中，教师要以实际问题为载体，引导学生对解题方法和思维路径进行优化，形成稳定的数学关系结构，提炼并运用问题解决模型，促进学生数学模型思想的初步发展。

数学思想蕴含在所学的数学知识中，正因为其内隐性，更需要充分重视并有意识地使之展现。在教学中，教师要引导学生感悟数学思想，在后续的学习中逐渐加以明晰，使学生对数学思想的认识经历从观察、发现、理解到应用的过程。数学思想是贯彻以学生为本的教学理念，触及人思想深处的东西，更是人终身学习发展的源泉。教师要做的就是从低年级开始渗透数学思想，在更高层次上引领学生的数学成长，为学生的数学发展奠定更坚实的基础。

作者单位   山东省德州市黎明街小学

责任编辑：张言