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一、多元表征，厘清题目意思

厘清题意是解决问题的关键环节，也是问题解决的基础和先导。作为一线老师都有这样的体会：有的孩子在解决问题时数量关系混乱，式不达意。这些孩子其实是理解题意出现了问题，不懂题目的意思，以至于解题没有思路。如果把现实情境中的已知条件、所求问题以及它们之间的关系用合适的图形表示出来，再借助图形进行分析、推理，解决问题的正确率将会大幅度提高。

一般来说，相对于用文字表达的实际问题，用图形表达的数量关系更适合于逻辑思维能力相对偏弱的小学生理解，也有助于激发他们主动探索的愿望，有利于激活学生的灵感和想象。

在小学阶段，低段学生对一些抽象的文字、符号的理解会有一些困难，低段学生以形象思维为主，对几何直观比较感兴趣，教师在恰当时机让他们在纸上涂一涂、画一画，不仅可以拓展学生解决问题的思路，帮助他们找到解决问题的关键，而且画图比较直观，通过画图能够把一些抽象的数学问题具体化，把一些复杂的问题简单化。例如：用一根绳子测量井深，绳子对折后井外余15米，把绳子三折来量井外余2米，求井深和绳长各多少？通过画图可看出第一次测量井外露出30米，第二次测量井外露出6米，两幅图对比则可发现除过相同的部分，30-6=24米，24米就是井的深度。

让孩子动手画一画，可以是各种形状的图形表示，可以是数轴，也可以是线段图，无论哪种形式，都是基于解决问题的分析题意、厘清数量关系，借助各种具体的“形”或线段图弄清楚各个量之间的变化，有了“图”的帮忙，题目表达的意思就一目了然。让学生亲身经历多元表征理解题意，有利于他们进一步掌握解题的方法，形成解题思路，有助于学生养成认真审题、独立分析、独立思考、善于钻研的能力。

二、画线段图，化抽象为直观

台北师范学院张英杰教授说：“画图策略就是解题者在解题过程中，运用画图的方式，画出与题意相关的图形或图案，以帮助解题者观察、推理、思考，达到解决问题的一种手段。”画图策略不仅可以把文字叙述的题目形象地表示出来，还可以帮助我们从多角度思考问题，线段图不同，解题的思路也不同，直观的图形可把复杂的解题思路、过程直观化、简单化。在遇到抽象的数学问题时，教师应引导学生应用画线段图的方式再现题意，使学生在使用线段图表示题意的过程中，明确绘图的过程是梳理文本逻辑的过程，从而找到解决问题的方法。

例如：某部队进行野战训练，连夜行军，走了全程的2/5，离中点还有15千米，问全程多少千米？通过画线段图分析可知，15千米占了全程1/5的一半，即占了全程的1/10，15除以1/10等于150，全程是150千米。

画图的过程是学生思考的过程，把题目的意思准确地转化成简洁的图形，通过分析图形解决问题，有助于培养学生借助“线段图”建立数学模型，把握数学对象，进行数学思考的能力，是直观的“形”与抽象的“数”的结合，体现了数形结合的思想方法，将促使学生在数学上获得更好的发展。

三、透过点子图，经历直观体验

点子图作为乘法的原型，将乘法的意义融入模型当中，在乘法运算教学中发挥着特殊的作用。点子图（点阵）是一种计算模型，相对于实物模型来说，点阵形式简单，具有概括性和抽象性。学生可以通过圈一圈、画一画的方式，获得直观、丰富的数学体验。点子图把教材中静态的知识激活了，使学生知其然更知其所以然。

1.“点子图”是呈现算法多样化的“桥”

以多位数乘一位数的运算教学为例，从两位数乘一位数的口算开始，在教学中引入点子图，进行乘法的直观运算。例如：12×4，学生在点子图上把口算过程表示出来，直观理解两位数乘一位数的算理，促进算法的多样化，通过在点子图上圈一圈，表示计算12×4的思考过程。由于点子图方便操作，这样能更好地体会转化的思想和计算方法的多样化，引导学生掌握更多适合自己的方法，进而发展数感。

2.“点子图”是理解乘法算理的“桥”

上述操作的目的：一是直观理解两位数乘一位数，即分块求积、再求和的算理。当分块相同时，运用了乘法结合律；当分块不同时，则运用了乘法分配律。二是沟通口算横式和笔算竖式间的联系，揭示了笔竖式算两个重要的计算步骤与口算的联系，即都是用一位数分别乘另一个因数的每一位，再把两个积相加。再借助点子图解释每步计算的含义，让隐藏在计算背后的算理变成“看得见”的直观图示，学生更容易理解算理。

3.“点子图”是从直观运算到算法运算的“桥”

之前，学生借助点子图用表内乘法和加法算出12×4的结果，就是把新知转化为旧知的过程。对应直观点子图，引导学生明确每一步计算的含义：第一步，4×2结果是8个点子，所以8写在个位；第二步，4个10是40个点子，写在第二层，相同数位对齐；第三步，把两部分加起来，得到48。结合学生对点子图的理解，再向学生说明一般的乘法竖式简写形式，引导学生结合前面的过程理解8为什么写在个位，4为什么写在十位。学生很容易就看懂了其中蕴含的道理，这为以后学习笔算乘法打下坚实的基础。

点子图在概念、运算、图形等领域的学习过程中，具有非常重要的意义和价值。相对于实物模型来说，点子图更加直观、简单、方便。点子图这一数学直观模型的巧妙利用，在直观和抽象之间找到一种沟通与平衡，建立起数学的直观表象和深度思维的联系。

4.利用“矩形图”，探索解题新途径

为了揭示数学中隐藏的数量关系，有时可以不拘一格地设计一些符合问题特征的矩形图，使数学问题中隐藏的数量关系跃然于纸上，这样往往可以取得意想不到的效果。用矩形图分析问题的核心是把问题中的“数”的关系转化为“形”的关系，从而把一个算术问题转化为一个纯粹的几何问题，图形的直观形象一目了然地解释了数量之间的关系。

用一条线段表示数量，通常只能考虑一个数量，可是在有的问题中要同时考虑两个数量，对于这样的问题可以用矩形图进行分析，根据题意画出矩形，可以用矩形的长表示一个量，用矩形的宽表示另一个量，矩形的面积表示这两个量的积。

例如：小明和小红两人从甲地去乙地，小明骑自行车每小时行15千米，小红骑自行车每小时行12千米，小红先行2小时，问几小时后小明可追上小红。可以用矩形的长表示时间，宽表示速度，矩形的面积表示路程。由图可知，总路程一样，面积①+面积②=面积③+面积②，由此可推出面积①和面积③相等，面积①=12×2，面积③=（15-12）×小明所用时间，12×2=（15-12）×小明所用时间，所以小明用了8小时追上小红。通过矩形图使问题解法更直观。

矩形图中的因数并没有被赋予特殊的含义，一旦赋予了它实际含义，积也就有了实际含义。比如：一个因数表示时间，另一个因数表示速度，那么积就表示路程了。同样，总价=单价×数量，工作量=工作时间×工作效率。搞清楚矩形图中长和宽的对应量，那么就可以画出相应的表示这组量乘积关系的矩形图，利用矩形图还可以推导一些公式。例如：利用矩形图推导出乘法分配律运算定律，第一次整体计算矩形的面积，第二次将矩形的面积分开计算，求同一个图形的面积用了两种不同的方法，于是得到（a+b）×c=a×c+b×c，这种思维方法称为“算两次”原理，又称“富比尼原理”，它是一个重要的数学原理，应用十分广泛。应用这一数学原理还可以推导出其他公式。

矩形图示法是应用矩形图表示题目的已知和问题，是帮助我们寻找解题线索的好办法。通过矩形图可以把抽象的数量关系变得具体形象，便于寻找解题线索。让学生从中获得学习有趣的情感体验，把抽象的运算变得形象直观，有助于对知识本质的把握，同时促进形象思维和抽象思维的协调发展。

数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形联系起来，揭示数和形之间的内在联系，使抽象的知识具体化，让学生掌握这种学习方法，发展学生的思维。在小学数学课堂教学中巧妙渗透并应用数形结合思想，充分利用它“一图抵百语”的优势，既能为小学数学教学开辟一片广阔的天地，又能为学生的可持续发展奠定扎实的基础。

作者单位 山东省渭南市华州区城关小学