本文叙述的是应用了动能定理而达到了事半功倍效益的案例，以增强师生应用动能定理解题的主动意识。

一、动能定理求路程

例如一个质量为m，电量为负q的小物体，可在水平绝缘x轴轨道上运动， x轴向右为正方向，左端o有一与轨道垂直的绝缘墙固定，轨道处在场强大小为E，方向沿ox轴正向的匀强电场中，小物体以初速度V从a点沿ox轴轨道运动，运动中受大小不变的摩擦力F作用，且小物体受到的摩擦力小于受到的电场力。小物体与墙碰撞不损失机械能，求它在停止前所通过的路程。

首先要认真分析小物体的运动状态，建立物理图景。开始时，设小物体从a点以V向右运动，它受到四个力的作用，除重力和支持力平衡外，还有向左的电场力和摩擦力，因此小物体向右做匀减速直线运动，直到速度为零。而后，小物体受到向左的电场力和向右的摩擦力作用，因为小物体受到的摩擦力小于受到的电场力，合力向左，小物体做初速度为零的匀加速直线运动，直到以一定的速度与墙碰撞，碰后小物体的速度与碰前速度大小相等，方向相反，然后小物体将多次重复以上过程。

由于摩擦力做功与路程有关，当摩擦力大小一定时，摩擦力的功与路程成正比即等于摩擦力大小与路程的乘积，且总是做负功，因而小物体动能与电势能的总量不断损失，小物体通过同一位置时的速度将不断减小。直到最后停止运动，小物体停止时，必须满足两个条件：速度为零和小物体所受的合力为零，小物体只有停在o点才能满足以上条件。

电场力的功跟起点位置和终点位置有关，而跟路径无关，所以整个过程中电场力做功为电量大小、电场强度大小与始末之间位移大小的乘积。小物体的初动能为质量与初速度平方的乘积的一半，末状态静止，末动能为零。又根据动能定理，合外力对小物体所做的功等于小物体动能的改变，得：整个过程中电场力对小物体做的功加上摩擦力对小物体做的负功等于物体的末动能零减去小物体的初动能，这样就很容易求出小物体在停止前所通过总路程。

若开始时，设物体向左运动，则水平方向受到向左的电场力和向右的摩擦力，因为小物体受到的摩擦力小于受到的电场力，合力向左，物体做初速度为V的匀加速直线运动，综上分析物体最终也停在o点。“动能”状态量是标量，无方向性无需注意初速度的方向，且动能只涉及到始末的状态，也无需考虑过程的变化，同样可用动能定理对运动的全过程列式，特别简便实用。

此类问题若用牛顿定律和运动学公式解决，则必须考虑初速度的方向，在整个过程中小物体向左运动和向右运动的合外力大小方向又均不相同，因而加速度也不相同，解决小物体的多次往复运动问题的基本方法是分段计算其与o点不断递减的距离，寻找其变化规律，然后再用数学的求和定理求其总的路程，不但繁琐、耗时，而且很容易出错。

二、动能定理求变力的功

例如一人站在高为h的楼上，用手水平地将一质量为m的物体抛出，如果抛出时的速率为a，落地时的速率为b，重力加速度为G，求⑴人对物体做的功；⑵物体在飞行过程中空气阻力所做的功。

物体从静止开始到脱手的过程中，人施于物体的力、物体运动的轨迹、位移都是未知的；脱手后，物体在空气中运动，它受到的空气阻力和运动轨迹也是未知的，显然，由功等于力与力方向上通过的位移的乘积求解是不可能的，但用动能定理来求变力的功只需从这段位移的始末两状态动能变化去考察，无需注意其中运动状态变化的细节，又由于动能是标量，无方向性，无需考虑物体是直线运动还是曲线运动，计算特别方便。

物体从人手中抛出的过程，物体受到人手的力F和重力G的作用，F竖直分量与重力平衡，且它们的方向都与物体位移方向垂直，对物体不做功，只有F的水平分量对物体做了功。

根据动能定理，人对物体所做的功等于物体质量与初速度平方的乘积的一半；物体在空中运动的过程中，受到重力和空气阻力作用，重力做功与路径无关，只与沿重力方向的位移有关，即物体质量、重力加速度常数、下落的高度三者的乘积。由动能定理可知重力对物体做的功加上空气阻力对物体做的功等于物体落地时的末动能（物体质量与落地时速度平方的乘积的一半）减去物体抛出时的初动能（物体质量与抛出时速度平方的乘积的一半），等式中只有空气阻力对物体做的功是未知的，只要求出物体在飞行过程中空气阻力所做的功就可以了，简便且不容易出错，用动能定理何乐而不为呢？